Symulacja numeryczna ukierunkowana na określenie wzorów opisujących dzwon

Andrzej Gołaś, Roman Filipek

AGH Uniwersytet Nauki i Technologi
Wydział Mechaniki i Wibroakustyki
Mickiewicza 30, 30-059 Kraków
e-mail: ghgolas@cyf-kr.edu.pl
(otrzymano 4 grudnia 2008 r. ; zaakceptowano  14 września 2009 r. )

Przekład na j. polski: Alina Peszt, Adam Ujda

Streszczenie

Analiza zróżnicowanych źródeł dźwięku ukazana jest na ich podstawowych wzorach. W literaturze nie zostały zawarte żadne wzory na dzwony kościelne, instrumenty szeroko stosowane w przestrzeni sakralnej w celu wytworzenia specyficzngo tła akustycznego, ujmując sprawę z estetycznego punktu widzenia. Ten referat zawiera metodologię określania wzorów na przykładzie rosyjskiego dzwonu. Zastosowanie tego przykładu było zdeterminowane poprzez dostępność dokładnych parametrów geometrycznych oraz wymiarów takowego dzwonu.

Model dzwonu został stworzony MES (metodą elementów skończonych). Zawarto w nim połączenie między dzwonem i otaczającym go środowiskiem akustycznym.  Podczas analizy modalnej zostały obliczone pierwsze trzy naturalne częstotliwości, po czym, używając analizy harmonicznej, przyporządkowano częstotliwościom odpowiednie wzory. Następnie została określona odpowiedź transjentów w wybranych punktach pomiarowych. Otrzymane wyniki są istotne dla odlewników dzwonów i architektów, gdyż dzięki ustalonym wzorom możliwe będzie projektowanie doskonalszych konstrukcji wsporczych do dzwonów oraz będzie możliwe określenie precyzyjniejszego rozprowadzania dźwięku. Zaprezentowana metoda auralizacji dźwięku dzwonu pozwoli na znacznie wygodniejszą współpracę między projektantem a odbiorcą.

1. Wstęp

Dzwony są instrumentami muzycznymi zwanymi idiofonami, tzn. instrumentami perkusyjnymi, w których dźwięk wytwarzany jest poprzez wyzwalane wibracje [1].

Jednymi z najstarszych dzwonów są dzwony chińskie [2], które dzięki owalnemu kształtowi generują dźwięk składający się z dwóch podstawowych tonów, powstający w efekcie wibracji.

Dzwony używane od średniowiecza w zachodniej kulturze mają kształt zbliżony do tulipana. Ich zewnętrzna powierzchnia może zostać przyrównana do hiperboli [3, 4], jeśli pod uwagę zostanie wzięta grubość ścian. Naturalne częstotliwości dzwonu nadane podczas procesu odlewania są często dodatkowo dostrajane poprzez zeszlifowywanie materiału w wybranych obszarach powierzchni wewnętrznej. Planowane naturalne częstotliwości są unormowane w następujący sposób: 1:2:2.4:3:4, co może być równie dobrze osiągnięte przez strojenie. Jest to szczególnie ważne w carillonowych zestawach dzwonów strojonych. Pierwsza postać wibracji, nazwana pomrukiem lub oktawą dolną nie jest dominująca, biorąc pod uwagę rejestrowane widmo, a jej dźwięk jest słyszalny razem z drugą formą wibracji, zwanej prymą. Dźwięk dzwonu jest złożony i składa się z cechującej go tercji małej (2.4), w związku z czym może zostać określony jako co najmniej wyjątkowy. LEHR [5] zaprojektował i stworzył serię dzwonów, w których występuje tercja wielka (stosunek 2.5 zamiast 2.4).

W ostatnich latach troska o dźwięk dzwonów nie zmniejsza się. Pierwsze prawdziwie zharmonizowane dzwony, w których pierwszych siedem alikwotów jest w harmonicznych cyklach, zostały stworzone przez Australian Bell w roku 1999 [6, 7]. W tym celu została zastosowana optymalizacja  przekroju poprzecznego żebra z użyciem  MES (metody elementów skończonych), więc jedynie peryferyjne formy wibracji zostały indukowane i stosownie do tychże danych dostrojone. Wskutek tego uzyskano całkowicie nowy dźwięk dzwonów, które odtąd mogły być użyte w carillonach, będąc zgodne harmonicznie. Jednakże, wyjątkowy charakter dźwięku został częściowo utracony.

Rozprowadzanie pola akustycznego dla dominujących częstotliwości rezonacyjnych nie zostało jak dotąd zbadane wystarczająco i ten problem został przedstawiony w referacie. Pokazano tu również algorytmiczną auralizację indukcyjną dzwonu wirtualnego. Ten proces stanowi standardową metodę w czasie akustycznego kształtowania pomieszczeń, jednak,  jak dotąd nie był wykorzystywany w celu analizy akustycznej idiofonów.

W przeciwieństwie do europejskich standardów lub nowo odkrytych dzwonów harmonicznych, w których kluczowym etapem w tworzeniu instrumentu jest strojenie precyzyjne po odlaniu, dostrajanie częstotliwości rezonacyjnych nie jest przeprowadzane w dzwonach rosyjskich. Niektóre odchylenia od planowanych częstotliwości rezonansowych nie są celowo redukowane, gdyż powodują dysonanse czyniące dźwięk dzwonu bardziej intensywnym i wyjątkowym. W celu oszacowania prawdopodobnych stosunków częstotliwości, próbki dźwięków wraz z danymi katalogowymi zaczerpniętymi od jednej z większych rosyjskich  ludwisarni stały się przedmiotem analizy numerycznej. Rycina 1. ukazuje krótkotrwałą transformatę Fouriera (STFT) przedstawiającą dominujące frekwencje rezonacyjne dla dzwonów odlanych przez ludwisarnię Pyatkov & Co., Kamensk-Uralskij w roku 2004 [8].

Rycina 1. wykazuje, że pierwsza, druga i trzecia częstotliwość są dominujące w każdym dzwonie i ich wartości wynoszą w przybliżeniu 1:2:2.4.

2. Badany przedmiot

Szczegółowe dane tyczące się kształtu dzwonów były utrzymywane w tajemnicy przez rodziny ludwisarskie i przekazywane z pokolenia na pokolenie. Na podstawie geometrycznych proporcji między średnicą dzwonu i innych parametrów dzwon może być odpowiednio przestrojony poprzez dostrojenie jego podstawowych częstotliwości do planowanych wysokości [1]. Dane z [8, 9] zostały zastosowane przy tej analizie. Dzwon o profilu żebra przedstawionym na rycinie 2. i średnicy wylotu równej 1 m został obrany za przedmiot badań. Materiał, tj. brąz, został wybrany jako izotopowy przy następujących parametrach: module Younga wynoszącym 10,5 * 10^10 Pa, współczynniku Poissona 0,33 i gęstości 8600 kg * m^-3.

3. Analiza numeryczna

Model dzwonu został wygenerowany za pomocą oprogramowań FEA i ANSYS [13]. Powierzchnia dzwonu została uformowana z użyciem ośmiowęzłowych elementów Shell281. Siatka ułożona równomiernie na powierzchni składa się z około 850 czworościennych elementów o grubości odpowiadającej węzłom znajdującym się na tej samej wysokości.

 

Podczas pierwszego etapu obliczeń zostały wyznaczone  naturalne częstotliwości i właściwe kształty form w skali częstotliwości od 1 do 1024 Hz. Model został ukształtowany w sposób nieograniczony, aby podczas numerycznych obliczeń odrzucić pierwszych sześć oznaczonych naturalnych częstotliwości przełożeń i rotacji bryły. Drgania swobodne wpływające na brzmienie dzwonu zostały wyznaczone poprzez porównanie drgań swobodnych opracowanych przy pomocy MES i drgań swobodnych opisanych w literaturze [10]. Wyniki zostały przedstawione na ryc. 4  i w tabeli 1. Różnice między przypuszczalnymi wartościami każdej częstotliwości i wartościami oszacowanymi w modelu nie przekraczają 11%. Po wyrażeniu różnicy między częstotliwościami w centach, staje się jasne, że używając muzycznej terminologii, interwał między oktawą dolną i prymą jest w odchyleniu od perfekcyjnej oktawy o ok. 2 półtony (201 centów), natomiast interwał między tercją małą a prymą odstaje od perfekcyjnej tercji małej o ok. 3/4 półtonu (76 centów). Te odchylenia mają silny wpływ na brzmienie dzwonu, ale podobna różnica każdego komponentu spektrum brzmienia została opisana w literaturze [1, 11].

Następny etap analiz dotyczył rozchodzenia się dźwięku dzwonu. W tym celu  do powierzchni dzwonu została dodana impedancja akustyczna (oporność falowa) [12] w formie kuli o promieniu 2 m. Środowiskiem akustycznym było powietrze o gęstości 1,2 kg * m^-3 i prędkości rozchodzenia się dźwięku 343 m*s^-1.

Tabela 1. Pierwsze trzy wartości częstotliwości dla rosyjskiego dzwonu.

Przestrzeń akustyczna została wypełniona czworościennymi i czterowęzłowymi (pierwszorzędnymi) akustycznymi elementami zwanymi Fluid30 i opartymu na następującym równaniu falowym:

gdzie c- prędkość rozprzestrzeniania dźwięku, P- ciśnienie akustyczne (P = P(x, y, z, t)), t- czas.

Środowisko, gdzie występuje rozprowadzanie fal, z założenia jest ściśliwe, nielepkie, bez średniego przepływu, posiada jednorodną średnią gęstość i ciśnienie. Elementy Fluid30 mogą być również sześcienne, co gwarantuje dokładniejsze wyniki przy zachowaniu podobnej gęstości siatki; jednakże, wypełnienie nimi wnętrza środowiska o złożonym kształcie jest znacznie trudniejsze (jeżeli nie niemożliwe).

Elementy Fluid130 spełniające warunek Sommerfelda powodując całkowitą emisję dźwięku poprzez swój układ (bez odbić od zewnętrznej powierzchni) zostały umieszczone na zewnętrznej powierzchni sfery. Korzystając ze środków ze źródła [13], warunek Sommerfelda może być zapisany następująco:

gdzie r- odległość od środka współrzędnych, P- ciśnienie akustyczne, Pr- ciśnienie wynikające bezpośrednio z emisji, d = 2, 3 – liczba wymiarów przestrzeni.

Nieograniczona przestrzeń została przecięta przez ustaloną krawędź absorbującą w określonej odległości od struktury. Warunek Sommerfelda jest skuteczny, jeżeli elementy kształtujące krawędzie są umieszczone na okręgu (w przypadku modeli dwuwymiarowych) lub na kuli (w przypadku modeli trójwymiarowych). Struktura i sprzężenie akustyczne zostały wzięte pod uwagę podczas pojedynczego kroku obliczeniowego w czasie wykonywania obliczeń. Stało się to możliwe za sprawą zastosowania elementów Fluid30, które były w kontakcie z powierzchnią dzwonu i posiadały (poza ciśnieniem) dodatkowe stopnie swobody w sprzężeniu. Sprzężenie między przemieszczeniem i polem akustycznym pojawia się w równaniu macierzy opisującym obiekt.

Analiza harmoniczna została zaprezentowana ze zróżnicowaniem częstotliwości od 0,5 do 640 Hz z odległością o 0,5 Hz. Współczynnik tłumienia 2 * 10^-4 został wykorzystany w systemie. Funkcja wejściowa była harmonicznie zróżnicowaną siłą o amplitudzie 1N wprowadzonej przy węźle, jak wskazuje ryc. 3b. Stopnie swobody związane z przemieszczeniem i rotacją zostały ustalone na górnej powierzchni dzwonu. Warunki graniczne modelu są zbliżone do realnego mechanicznego systemu carillonowego dzwonienia, gdzie dzwon jest zazwyczaj nieruchomy, a uderzenie generowane poprzez mechanizm operujący sercem. Amplituda ciśnienia akustycznego dla analizowanej rozpiętości częstotliwości była obliczana w trzech punktach kontrolnych (ryc. 5 a), a przedstawiona na ryc. 6.

Wyniki analizy harmonicznej dla poszczególnych częstotliwości rezonacyjnych były bezpośrednio użyte do określenia systemowych wzorów, np. dystrybucji pola akustycznego dla częstotliwości rezonacyjnych 254,5, 454 i 565,5 Hz, a zostały zaprezentowane na ryc. 7-9.

Ryc. 6 prezentuje rezonacje pojawiające się nie tylko dla częstotliwości funkcji wejściowej zbliżonej do naturalnej częstotliwości dzwonu, ale również dla częstotliwości ok. 47,3 i 595 Hz. One są charakterystyczne dla określonych ograniczeń modelu dzwonu, dla którego wszystkie przekładające się i zróżnicowane stopnie swobody są ustalone dla wartości równej 0 na górnej powierzchni dzwonu. Wówczas w układzie pojawiają się dodatkowe naturalne częstotliwości, których odchylenia nie zostałyby zaobserwowane w wypadku dzwonu zawieszonego na jarzmie wahliwym lub statycznym.

4. Kształtowanie transjentowej reakcji układu.

Zakładając, że badany układ (ryc. 10) jest linearny, a jego parametry są niezmienne w czasie, okres reakcji impulsowej może być wykorzystany podczas jego analizy.

Reakcja impulsowa układu wyraźnie określa układ. Transformacja Fouriera układu reakcji impulsowej gwarantuje określenie amplitudy i cech charakterystycznych częstotliwości. Jeśli funkcja delta δ(t) jest podana na wejściu układu, sygnał na wyjściu układu ma formę reakcji impulsowej. Posiadając reakcję impulsową h(t), reakcja systemu y(t) dla jakiegokolwiek wejściowego sygnału x(t) może być uzyskana jako zwinięcie sygnału wejściowego x(t) i reakcji impulsowej h(t):

Nawiązując do własności  zwinięcia dwóch funkcji i faktu, że transformacja Fouriera jest szczególnym przypadkiem Laplace’a, można to zapisać następująco:

gdzie Y(jω), X(jω)- transformacja Fouriera sygnału wejściowego i wyjściowego (szacunkowo), H(jω)- przekształcenie widmowe funkcji układu.

Przekształcenie widmowe funkcji układu zostało obliczone dla systemu numerycznego przedstawionego w rozdziale 3. Wynik analizy np. ciśnienia akustycznego w podanym punkcie kontrolnym został przekształcony w Matlab 7.0, w którym dalsze obliczenia zostały przedstawione. Reakcja impulsowa układu została obliczona z użyciem odwrotności transformacji Fouriera. Reakcja transjentowa układu została określona jako zwinięcie założonej funkcji wejściowej (z zastosowaniem siły) i reakcji impulsowej. Próbki wyników prezentuje ryc. 11.

Cechy charakterystyczne przedstawionej znormalizowanej amplitudy ciśnienia akustycznego jako funkcji czasu (ryc. 11). dowodzą, że zmienność siły impulsu ma znaczący wpływ na reakcję akustyczną systemu. Jeśli siła impulsu jest dłuższa, niższe częstotliwości rezonansowe układu są mocniej indukowane i ten efekt jest zauważalny nawet w funkcji czasowej. Częstotliwości mogą być obliczone dokładniej poprzez analizę spektralną, transformację Fouriera lub jakiekolwiek rozgraniczanie danym w zakresie czasu.

Otrzymane sygnały zostały przyporządkowane dla próbnych średnich częstotliwości w celu odtworzenia zapisu dźwięku, np. 44,1 kHz i zapisane jako PCM (Pulse Code Modulation- plik *.wav). W wyniku powyższego będzie możliwe odtwarzanie tychże zapisów poprzez jakiekolwiek oprogramowanie.

5. Wnioski 

Wyniki uzyskane dla rosyjskiego dzwonu mogą być zastosowane dla szerokiej grupy dzwonów mollowych z powodu podobieństwa wzorca linii węzłowych.

Uzyskane rozprzestrzenianie się pola akustycznego dla podstawowej częstotliwości dzwonu prezentuje znaczącą nieregularność. Rozchodzenie się dźwięku następuje gównie w poziomej płaszczyźnie dzwonu (w kierunkach prostopadłych do ścian dzwonu) i jest najbardziej intensywne w czterech kierunkach, wg wibracji przeciwwęzłowych. Analiza pierwszego bezpośredniego wzorca dowodzi, że należy rozważyć nową mechaniczną konstrukcję, żeby uzyskać zrównoważoną amplifikację dźwięku przestrzeni otaczającej dzwon. Konstrukcja, w której występuje zdynamizowane jedno lub dwa serca pozwoli na zróżnicowanie uderzeń w zmiennych punktach położonych pod kątem 45 stopni względem siebie w płaszczyźnie poziomej. Prawdopodobnie ciekawy efekt akustyczny mógłby zostać osiągnięty w grupie dzwonów carillonowych, jeśli standardowy punkt uderzenia serca w klosz zostałby zmieniony.

Pole rozprzestrzeniania jest nawet bardziej niestandardowe dla wyższych częstotliwości rezonacyjnych. Opierając się na wynikach analizy można podsumować, że jakiekolwiek pomiary istniejącego obiektu powinny być dokonane w wielu punktach pomiarowych, a najsilniejszy efekt akustyczny jest obserwowany w płaszczyźnie ruchu serca. Kluczowym elementem analizy jest wyznaczenie warunków granicznych. Prędkość wibracji jest zazwyczaj określana podczas momentu uderzenia. Zgodnie z zasadami kształtowania głosu uderzeniowego odpowiedź struktury i układu akustycznego funkcji wejściowej, np. zastosowana siła (akceleracja) jako sygnał ustalonych cech charakterystycznych z czasem określonym dla tego modelu.

Wspomniany powyżej algorytm może być istotny dla architekta jako, że dzięki wiedzy na temat bezpośrednich wzorów, konstrukcje podtrzymujące dzwony mogą zostać zaprojektowane w dużo lepszy sposób, a ścieżka rozchodzenia się dźwięku w przestrzeni może być określona dokładniej. W istniejących konstrukcjach wiedza o bezpośrednich wzorach w połączeniu z modelem rozchodzenia się dźwięku, np. przy użyciu metod geometrycznych [14] może być użyteczna dla właściwego wyboru punktów zapisu brzmienia.

Na obecnym etapie badań geometryczne i materialne własności dzwonu zostały zaczerpnięte z literatury. Zróżnicowanie między częstotliwościami ustalonymi przy użyciu symulacji numerycznej i pomiarów istniejącego dzwonu mogą przekraczać 20%. Zatwierdzenie modelu jest konieczne i będzie realizowane eksperymentalnie. Model numeryczny z parametrami, które odpowiadają istniejącym parametrom dzwonu, będzie obliczany, a następnie wyniki będą porównane z pomiarami istniejącego dzwonu.

W dalszych badaniach zostanie zbadana czułość naturalnych częstotliwości dla materialnych i geometrycznych parametrów. Wówczas wdrożony algorytm może być zastosowany w projekcie dzwonu o nowym kształcie i stroju. Wyniki obliczeń zostały użyte do auralizacji brzmienia dzwonu, w związku z tym odtworzenie dźwięku i wszelkie korekty mogą już zostać dokonane podczas tworzenia prototypu. Co więcej, auralizacja brzmienia może być szczególnie użyteczna do zaprezentowania danych obliczeniowych dla odbiorcy lub konstruktora profilu żebra, który zazwyczaj nie posiada podstawowej wiedzy z dziedziny inżynierii lub akustyki i dla którego graficzna interpretacja danych może stwarzać problemy.

Kończąc, wirtualna rekonstrukcja dźwięku wielkich dzwonów, które zaginęły lub zostały zniszczone, stanie się możliwa. Można będzie to osiągnąć przy ogólnym szacunku, gdy jedynie podstawowe parametry są znane, tak, jak w przypadku największego na świecie birmańskiego dzwonu króla Dhammazedi odlanego w 1484 roku, ważącego 600 ton, zgodnie z zapisami z kronik. Lepsze, bardziej zbliżone do oryginału brzmienie może zostać osiągnięte, kiedy geometryczne i materialne parametry zostaną zmierzone. Jako kolejny przykład można rozważyć przypadek rosyjskiego dzwonu Car Kałakoł ważącego 180 ton. Uległ on pęknięciu podczas pożaru w 1737 roku, zanim wydobyto z niego dźwięk, lecz nie został przelany, tylko przetransportowano go na moskiewski Kreml. Obecne wyniki badań zawierają dużą ilość błędów, ale będą one minimalizowane w dalszych szczegółowych badaniach. Po określeniu najważniejszych parametrów dzwonu brzmienie zaginionych dzwonów może zostać zrekonstruowane z większą precyzją.

Źródło

Obliczenia numeryczne zostały przeprowadzone w Akademickim Centrum Komputerowym  CYFRONET AGH w ramach grantu nr MNiSW/IBM¡BC¡HS21/AGH/066/2007.

Adnotacje

[1] Fletcher N.H., Rossing T.D., The Physics of Musical Instruments, Springer 1998.
[2] Zhang Huai Y.Z., Yang ChangChun, Shi YaoLin, Study on excitation of the two-tone acoustic characteristic of the chime bell of Marquis Yi of Zeng by finite element method, Chinese Science Bulletin, 2007.
[3] Rayleigh Lord, On Bells, The London, Edinburgh and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 5 (1890).
[4] Perrin R., Swallowe G.M., Rayleigh’s Bell Model Revisited, Stockholm Music Acoustics Conference, Stockholm, Sweden 2003.
[5] Lehr A., The designing of swinging bells and carillon bells in the past and present, Athanasius Foundation Asten 1987.
[6] http://www.ausbell.com/.
[7] McLachlan N.M., Hasell A.G., Bells. USPatent, Ed. 2005.
[8] www.russianbells.com.
[9] Kaminski J., Kolokol: Spectres of the Russian Bell, PhD. Thesis, University of Technology, Sydney 2006.
[10] Fletcher N.H., The nonlinear physics of musical instruments, Rep. Prog. Phys., 62, 723–764 (1999).
[11] Sankiewicz M., Budzynski G., Analizy dzwieku najwiekszych dzwonów w Polsce, Otwarte Seminarium z Akustyki OSA’96, Ustron 1996.
[12] Filipek R., Wiciak J., Active and passive structural acoustic control of the smart beam, The European Physical Journal – Special Topics., 154, (1), 57–63 (2008).
[13] Theory Reference (Release 11.0 Documentation for ANSYS).
[14] Gołas A., Suder–Debska K., Filipek R., The influence of sound source directivity on acoustics parameters distribution in Kraków Opera Hall, Acta Physica Polonica B (inreview).